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Siete problemas matemáticos y 7 millones de dólares para aquellos capaces de resolverlos. En el año 2000 la fundación Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts, dedicada a fomentar e impulsar el conocimiento matemático, decidió crear estos premios para los que denominó los problemas del milenio. El premio es suculento, pero hasta ahora solo uno de ellos ha sido resuelto y científicos y matemáticos de todo el mundo se hallan trabajando para resolver los 6 restantes. ¿Crees que serías capaz de resolver alguno de ellos?
1. El problema de P frente a NP
Se trata del primero de los problemas del milenio de las matemáticas aplicadas, y alude más concretamente al campo de la complejidad computacional, dentro del ámbito de la informática. Su planteamiento se remonta a los años 70, cuando además de por Alan Turing, fue planteado paralelamente por los programadores Stephen Cook y Leonid Levin.
A grandes rasgos, el problema P frente a NP busca clasificar los problemas en dos clases: los que pueden ser resueltos con una cantidad determinada de recursos, y aquellos que no. Los recursos a los que nos referiríamos serían el tiempo empleado para realizar los cálculos, y la memoria requerida (no olvidemos que nos encontramos en el campo de la informática computacional) para procesar los datos del problema.
Por ejemplo, los problemas P serían de fácil resolución para los ordenadores, es decir sus soluciones serían fáciles de encontrar en una cantidad razonable de tiempo. En los problemas NP, por el contrario, la solución podría ser muy difícil de encontrar, o quizá requeriría una gran cantidad de recursos (miles de años), para ser hallada, aunque una vez encontrada la solución sería fácil de comprobar. Un ejemplo muy ilustrativo de este tipo de problemas podría ser la resolución de un puzle, donde encontrar el orden de las piezas, podría requerir gran cantidad de recursos, pero una vez terminado el puzzle, la solución correcta saltaría a la vista, y sería fácil de comprobar.
El problema P versus NP plantea si todos los problemas NP son también un problema P. Si P es igual a NP, todos los problemas NP contendrían un atajo oculto, que permitiría que los ordenadores encontrasen rápidamente soluciones perfectas. Pero si P no es igual a NP, entonces no existen dichos atajos, lo que demostraría que la potencia de resolución de problemas de los ordenadores es limitada.
2. La conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge se enmarca entre dos campos matemáticos, la geometría diferencial y la geometría algebraica. Fue propuesta el matemático escocés William Hodge en el año 1950 durante el Congreso Internacional de Matemáticos que tenía lugar en Cambridge. Se trata de una de las teorías más abstractas y difíciles de explicar de las matemáticas.
La idea básica que subyace de la conjetura, se pregunta en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado construyéndolo a partir de bloques simples de dimensión cada vez mayor. A día de hoy permanece como un problema abierto, sin embargo, no existe una idea clara de si su resolución se llevará a cabo mediante técnicas de geometría algebraica o geometría diferencial. De hecho, entre los propios matemáticos existe bastante división respecto a que la teoría pueda ser probada o refutada.
3. La hipótesis de Riemann
La hipótesis de Riemann fue formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, y por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea. Riemann sugirió que la distribución de estos números está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada «función zeta de Riemann», la cual tiene dos tipos de ceros: los ceros «triviales», que son todos los números enteros pares y negativos; y los ceros «no triviales», cuya parte real está siempre entre 0 y 1.
La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros no triviales de la función zeta se encuentran en la recta x = 1/2. A día de hoy, más de diez billones de ceros han sido calculados para la función z, todos alineados sobre la recta crítica, los cuales corroboran la sospecha de Riemann. Sin embargo todavía nadie aún ha podido demostrar en la actualidad que la función zeta no tenga ceros no triviales fuera de dicha recta.
4. La conjetura de Poincaré
La conjetura de Poincaré es un problema topológico, establecido en 1904 por el matemático francés Henri Poincaré. Se trataba de uno de los problemas de más difícil resolución de los 7 problemas del milenio. Decimos «se trataba» por que fue resuelto en el año 2006, convirtiéndose en el Teorema de Poincaré como fruto del trabajo del matemático ruso Grigori Perelman, quien renunció a la cuantía económica del premio.
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El teorema sostiene que la esfera cuatridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta cuatridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que solo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión: la esfera cuatridimensional.
5. Las ecuaciones de Navier-Stokes
Estas ecuaciones fueron nombradas en honor al ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y al físico y matemático anglo irlandés George Gabriel Stokes, y se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido viscoso. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.
Las ecuaciones describen desde que fueron formuladas y de forma correcta el movimiento de los fluidos, ya se produzca este de forma caótica (flujo turbulento) o de forma armoniosa (flujo laminar), no obstante al respecto siguen existiendo algunas incógnitas a resolver, como la transición de un flujo laminar a uno turbulento y viceversa. Según la mecánica newtoniana, estas ecuaciones deberían predecir el movimiento de un fluido a partir de su estado inicial, algo imposible de confirmar o desmentir hasta la actualidad.
6. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinerton-Dyer es una conjetura matemática, enunciada en 1965 por los matemáticos ingleses Bryan Birch y Peter Swinerton-Dyer, pero que ya fue planteada por primera vez en el siglo X en un manuscrito árabe. Esta conjetura describe el conjunto de soluciones racionales a las ecuaciones que definen una curva elíptica. Las curvas algebraicas se clasifican según su género: las de género 0 son conocidas como curvas racionales y pueden tener o ninguna o infinitas soluciones. Las de género 1 son las conocidas como curvas elípticas, las cuales tienen solución ya se trate de un número finito o infinito. La resolución de la conjetura se basaría en encontrar un criterio para distinguir las curvas elípticas.
7. Yang-Mills y el salto de masa («mass gap»)
La hipótesis de Yang-Mills estableció las bases de la teoría de las partículas elementales de la materia, en cuya versión cuántica se describen partículas sin masa (gluones), sin embargo varios experimentos han concluido que existe lo que los científicos llaman un «salto de masa» o «mass gap», un fenómeno no observado en la naturaleza pero si demostrado en la teoría cuántica.
El uso exitoso de esta teoría para describir las fuertes interacciones de las partículas elementales depende de ese salto de masa, una propiedad mecánica cuántica según la cual las partículas cuánticas tienen masas positivas, aunque las ondas clásicas viajan a la velocidad de la luz. La resolución del problema consiste en determinar de manera rigurosa la existencia de una teoría de Yang-Mills cuántica que pueda explicar este fenómeno. Es decir, determinar si todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa o no.
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